Unendlichkeit

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Mächtigkeit   abzählbar   Potenzmenge  
rationale Zahlen   irrationale Zahlen
Abzählbarkeit der rationalen Zahlen   Diagonalverfahren von Cantor  
Probleme mit dem Begriff der Unendlichkeit  
Anwendungen des Zahlensystems in der realen Welt
Unendlichkeit im Großen   Unendlichkeit im Kleinen  
Die Zahl Pi
Anmerkungen zu den Begriffen Abzählbarkeit, Grenzwert, Durchschnitt unendlich vieler Mengen.

Einige allgemeine Betrachtungen

Soweit im folgenden rationale und irrationale Zahlen betrachtet werden, beschränke ich mich auf den positiven Bereich.

Man kann zwischen einer Unendlichkeit im Großen und einer Unendlichkeit im Kleinen unterscheiden.

Unendlichkeit im Großen

Die Unendlichkeit im Großen drückt sich z.B. dadurch aus, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. Natürliche Zahlen sind z.B. 1,2,3,4,5,6,7,8 ...
Die drei Punkte deuten an, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
Die Unendlichkeit im Großen wird dadurch beschrieben, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat. Das ist ein Axiom, ein Peano-Axiom für natürliche Zahlen.

Unendlichkeit im Kleinen

Die Unendlichkeit im Kleinen drückt sich dadurch aus, dass man Teile einer Einheit definieren kann, z.B. 1/2, 1/3, 7/12 ... Dabei gibt es keine Beschränkung für die Teilbarkeit, man kann beliebig kleine Teile definieren. Jeder Bruch der Form p/q mit natürlichen Zahlen p und q, p > 0, q > p, definiert den  p/q ten Teil einer Einheit. Der Zahlenwert der  Zahl p/q wird durch p Teile der "Ausdehnung" 1/q erfasst, dabei ist 1/q > 0. Der Begriff "Ausdehnung" wird dabei auf die Einheit bezogen. Eine rationale Zahl p/q ist durch endliche viele Teile p der "Ausdehnung" q beschreibbar.

Beispiele

Als Beispiel betrachte man das Intervall [0,1]. Die rationale Zahl 1/12 beschreibt den 12.ten Teil dieser Einheit, die rationale Zahl 7/12 beschreibt den 7/12 ten Teil.
Der Teil 1/12 hat die "Ausdehnung" 1/12. Die Zahl 7/12 wird in dieser Sichtweise durch 7 Teile der "Ausdehnung" 1/12 beschrieben.
Auch rationale Zahlen p/q die größer als 1 sind, können über endliche viele Teile der "Ausdehnung" 1/q beschrieben werden:

Beispiel: Die Zahl 27/12 wird durch 27 Teile der Ausdehnung 1/12 beschrieben.
In dieser Form der Darstellung gibt es weder größte natürliche Zahlen noch kleinste Teile einer Einheit.

Für eine physikalische Realisierung der rationalen Zahlen gäbe es keine kleinsten Teile. Wenn man jeder rationalen Zahl q zwischen 0 und 1 ein Objekt der Größe q zuordnen könnte, hätte man schon unendlich viele Objekte.

Die irrationalen Zahlen bieten nichts Neues für die Unendlichkeit im Großen. Sie besagen, dass z.B. zwischen 0 und 1 Zahlen existieren, die man nicht als Teile der Einheit in der angegebenen Form p/q ausdrücken kann.
In diesem Sinne beschreiben die irrationalen Zahlen Punkte auf der Zahlengeraden, die man durch rationale Zahlen nicht erfassen kann.

Irrationale Zahlen findet man in jedem beliebig großen und auch in jedem beliebig kleinen reellen Zahlenintervall.

Man kann sich dem Zahlenwert einer irrationale Zahl x im Intervall [0,1] aber durch Teile der 1 beliebig genau annähern. Genauer, es gibt eine Folge rationaler Zahlen qn = pn/qn mit natürlichen Zahlen pn und qn, die gegen die irrationale Zahl x konvergiert.

Eine Frage hierzu:

Wachsen dabei Zähler und Nenner der approximierenden Folge rationaler Zahlen pn/qn über alle Grenzen?

Das ist eine Vermutung, ich kann sie aber nicht beweisen.

Wurzel aus 2

Man betrachte z.B. die irrationale Zahl
imageHGE
= 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 ...
Die drei Punkte deuten an, dass man sich die Ziffernfolge nach dem Komma unendlich fortgesetzt denken muss.
Man kann sich dem Zahlenwert der Wurzel aus 2 mit Hilfe dieser Ziffernfolge z.B. folgendermaßen annähern:
141421356237309504880 /100000000000000000000 = 1,41421356237309504880
Das ist eine endliche Approximation, dadurch kommt man der irrationalen Zahl "Wurzel aus 2" aber nicht beliebig nahe. Man müsste alle Dezimalziffern erfassen, um die Zahl "Wurzel aus 2" exakt beschreiben zu können, das sind aber unendlich viele.
Bemerkung 1: Dies ist kein formaler Beweis, dass Zähler und Nenner über alle Maßen wachsen müssen, wenn man sich einer irrationalen Zahl mit rationalen Zahlen beliebig genau annähern will, es ist nur ein Beispiel.
Die Folge 1/qn konvergiert in dieser Darstellung gegen Null,ohne die Null jemals zu erreichen. Unter Verwendung des weiter oben eingeführten Begriffs "Ausdehnung" kann eine irrationale Zahl durch unendlich viele Teile der "Ausdehnung" 0 beschrieben werden. Endlich viele Teile der "Ausdehnung 0" aufsummiert ergeben den Zahlenwert 0.
Bemerkung 2: der Begriff "Teilbarkeit" hat eine andere Bedeutung in der Zahlentheorie (vgl. den Artikel "Teilbarkeit" in der Wikipedia), als die "Teilbarkeit", wie sie hier verwendet wurde. Ich wollte die Auffassung motivieren, dass man rationale Zahlen zur Beschreibung von Teilen einer Einheit verwenden kann. Die Einheit ist dabei der Abstand zwischen 2 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.

Den Begriff "Ausdehnung" einer rationalen Zahl gibt es in der Mathematik nicht, so wie er hier verwendet wurde.

Motivation: Der Zahlenwert irrationaler Zahlen ergibt sich in der angegebenen Sichtweise als unendliche Aufsummierung von Teilen der Ausdehnung Null, während sich rationale Zahlen über eine endliche Aufsummierung von Teilen beschreiben lassen, die eine von Null verschiedene Ausdehnung haben.

Näherungsweise kann man z.B. die Wurzel aus 2 durch 141421356237309504880 Teile der Ausdehnung 1/100000000000000000000 beschreiben, will man "näher ran", muss man die Anzahl der Nullen im Nenner des Bruches 141421356237309504880 /100000000000000000000 erhöhen und entsprechend viele Dezimalziffern im Zähler ergänzen. Um Wurzel aus 2 exakt darstellen zu können, stelle ich mir einen Bruch vor, in dem Zähler und Nenner unendlich groß sind. Der Ausdruck 1/Nenner = 1/100000000000000000.... hat dann die Ausdehnung 0 während im Zähler die unendlich vielen Ziffern stehen, die Wurzel 2 als Gesamtheit ausmachen. "Unendlich" hat dann eine Struktur, da die unendlich vielen Ziffern im Zähler eindeutig bestimmt sind. Jeder derart bestimmten Ziffer entspricht eine Null im Nenner, d.h. die unendlich vielen Nullen im Nenner sind eineindeutig auf die Ziffern im Zähler abbildbar.

Man könnte die Nullen im Nenner z.B. indizieren und hierüber eine Abbildung auf die Ziffern des Zählers definieren: 0_1 -> 4, 0_2 -> 1, 0_3 -> 4 ...
Im folgenden wird der Unendlichkeitsbegriff der Mathematik formal im Rahmen der Standardanalysis behandelt.

Der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik

Bei einer Menge mit endlich vielen Elemente bezeichnet die Mächtigkeit der Menge die Anzahl der Elemente. Der Begriff der Mächtigkeit wird auf Mengen mit unendlich vielen Elementen erweitert.

Die Menge der natürlichen Zahlen besteht aus unendlich vielen Elementen. Eine beliebige Menge M mit unendlich vielen Elementen hat die gleiche Mächtigkeit wie die Menge N der natürlichen Zahlen, wenn es eine eineindeutige Abbildung gibt, die jedem Element aus N ein Element aus M zuordnet.

Eine eineindeutige Abbildung ist injektiv und surjektiv. Diese Begriffe werden im   Index zur Analysis beschrieben.
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abzählbar. Das ist eine Definition. Eine Menge M mit unendlich vielen Elementen ist abzählbar, wenn es eine eineindeutigen Abbildung gibt, die jedem Element aus N ein Element aus M zuordnet.
Beispiele abzählbar unendlicher Mengen

(1) Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist abzählbar.

Man betrachte z.B. die Abbildung fG : n -> 2n, die jeder natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl 2n zuordnet, die den doppelten Zahlenwert wie n hat.
Also 1 -> 2, 2 -> 4, 3-> 6 ...

Diese Abbildung ist eineindeutig, sie bildet eine natürliche Zahl n auf die natürliche Zahl 2 * n ab
(* bezeichne das Multiplikationssymbol, es wurde in der Schreibweise 2n weggelassen)

Die Menge G := { 2 * n | n ist Element der natürlichen Zahlen} bezeichne die Menge der geraden natürlichen Zahlen.
Die Abbildung fG bildet die Menge N auf die Menge G ab.

Damit hat die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen selbst.
(2) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, man verfolge den oben angegebenen Link, Abzählbarkeit der rationalen Zahlen.
(3) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.

Reelle Zahlen werden in rationale und irrationale Zahlen unterschieden.

Rationale Zahlen können durch endliche oder periodische Ziffernfolgen beschrieben werden, z.B.
1/3 = 0,3333333...
eine periodische Ziffernfolge nach dem Komma

1 = 1,0
eine endliche Folge von Ziffern nach dem Komma

1 = 0,9999999999...
eine periodische Ziffernfolge nach dem Komma

image9EF = 0,42857142857142857...
eine periodische Ziffernfolge nach dem Komma, die Ziffernfolge 4 2 8 5 7 1 wiederholt sich.

Die drei Punkte ...  in den Darstellungen deuten an, dass man sich die angegebene Ziffernfolge unendlich fortgesetzt denken muss.

Die irrationalen Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Dezimalzahlentwicklung eine unendliche Folge von Ziffern enthält, die nicht periodisch ist, z.B.
imageHGE = 1,41421356...
Es gibt Rechenverfahren, mit denen man diese Ziffernfolgen (theoretisch) berechnen kann, z.B. für die Wurzel aus 2 oder für die Zahl Pi.

Jede irrationale reelle Zahl lässt sich durch eine Folge rationaler Zahlen beliebig genau approximieren. Eine solche Zahlenfolge enthält höchstens abzählbar unendlich viele Folgenglieder.

Im Index zur Analysis  werden die Begriffe "Folge" und "Konvergenz" erklärt.

Über die Folgenkonvergenz rationaler Zahlenfolgen können reelle Zahlen definiert werden, z.B. über Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen.
Cauchy-Folgen werden im Index zur Analysis beschrieben. Literatur hierzu: Analysis I.

Man konstruiert also eine überabzählbare Menge aus einer abzählbaren Menge heraus.

Anwendungen des Zahlensystems in der realen Welt

Man kann die natürlichen Zahlen verwenden um Objekte abzuzählen, z.B. die Anzahl der Himmelskörper in einer Galaxie. Um zu einem eindeutigen Ergebnis zu kommen, sollte man sich vorher auf eine bestimmte Mindestgröße der abzuzählenden Objekte geeinigt haben.

Diese Form der Abzählung soll gleichzeitig allen durch das Auswahlkriterium bestimmbaren Himmelskörpern eine natürliche Zahl zuordnen. Sie ist damit eine momentane Bestandsaufnahme. Der Begriff "gleichzeitig" nimmt Bezug auf den Zeitbegriff der Physik. Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wären dies alle Objekte, die zu einem festen Zeitpunkt einen raumartigen Abstand zueinander haben.

Da sich die Anzahl und Größe der Himmelskörper ständig ändert, führt jede neue Abzählung zu einem anderen Ergebnis.

Auch die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar. Man kann damit Teile eines Objektes beschreiben, z.B. 1/2, 2/3, 5/7 ...
Dabei ist die Feinheit der Teilung nicht eingeschränkt. Hat man also alle Himmelsobjekte einer bestimmten Mindestgröße abgezählt, so kann man mit der Teilung auch alle ihre Bestandteile erfassen.

Was sind aber die kleinsten Bestandteile der Materie?

Mit der Mindestgröße gibt es bereits Probleme. So kann man z.B. für bestimmte Elementarteilchen nicht angeben, ob sie eine von Null verschiedene Ausdehnung haben. Ein Beispiel hierfür ist das Elektron.

Für Elementarteilchen gibt es darüber hinaus Lokalisierungsprobleme, sie müssen der Heisenbergschen Unschärferelation genügen, d.h. es gibt Unschärfen in der Bestimmung des Ortes und Unschärfen in der Bestimmung der Zeit. Damit ist es dann gar nicht so klar, ob z.B. die Menge aller Elementarteilchen einer Galaxis zu einem bestimmten Zeitpunkt abzählbar ist.

Bei Atomen kann man eine bestimmte Größenordnung für ihren Durchmesser angeben, 10-10 m. Die genaue Größe oder Gestalt eines Atome ist aber mit Unschärfen behaftet. Man weiß eigentlich nur genau, wieviele Atome sich in einem Mol eines Stoffes befinden, weil man es definiert hat. Wieviele Eisenatome befinden sich aber in einem Würfel der Kantenlänge 1 cm?

Bezieht man sich auf das ganze Universum, so kann es schwierig werden, einen Zeitpunkt zu finden, der für alle Objekte gleichermaßen gilt. Schwierig wird es, wenn es keinen Urknall gegeben hat, auf den die gesamte Materie zurückgeführt werden kann, sondern verschiedene derartige Ereignisse. Astronomische Beobachtungen scheinen ja eine blasenartige Struktur des Universums zu bestätigen.

Probleme mit dem Begriff der Unendlichkeit

Will man z.B. die rationalen Zahlen abzählen, so kann man sich in der Unendlichkeit "verlaufen".
Zählt man in der Form 1/2, 2/3, 3/4 ... so endet das Abzählen niemals, auch wenn man unendlich oft zählt. Man kommt dabei nicht aus dem Intervall [0,1] heraus und erreicht dabei noch nicht einmal alle rationalen Zahlen im Intervall (0,1). 5/9 ist auf diese Weise z.B. nicht erreichbar. Man muss sich also vorher überlegen, welchen Weg man durch die Unendlichkeit nehmen will, um ALLE rationalen Zahlen abzählen zu können.

Wie man das erreichen kann, wird über den oben angegebenen Link, Abzählbarkeit der rationalen Zahlen, beschrieben. Dabei werden weitere Probleme behandelt, die der Unendlichkeitsbegriff so mit sich bringt, wenn man ihn mit der intuitiven Anschauung vergleicht.

Man kann z.B. aus einer Menge, die abzählbar unendlich viele Zahlen enthält, eine Menge herausnehmen, die abzählbar unendlich viele Zahlen enthält und dabei eine Restmenge erhalten, die immer noch abzählbar unendlich viele Zahlen beinhaltet.

Dieser Sachverhalt wird weiter oben in "Beispiele abzählbar unendlicher Mengen" beschrieben: Abzählbarkeit der Menge der geraden natürlichen Zahlen.
Reelle Zahlen

Die "nächsthöhere Unendlichkeit" ergibt sich über die Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Sie beinhaltet überabzählbar viele Elemente.
Die Potenzmenge der natürlichen Zahlen hat die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen.

Das Axiomensystem der reellen Zahlen setzt voraus, dass zwei verschiedene reelle Zahlen einen positiven Abstand voneinander haben. Jede von Null verschiedene Umgebung einer reellen Zahl beinhaltet aber bereits wieder unendlich viele rationale Zahlen. Es gibt also nach diesen Aussagen keine benachbarten reellen Zahlen, zwischen denen sich nicht auch unendlich viele rationale Zahlen befinden.

Die Beschreibung der reellen Zahlen in der Form von Dezimalzahlen geht über die Beschreibung der rationalen Zahlen hinaus.

Die reellen Zahlen erfassen z.B. Dezimalzahlen mit unendlichen Ziffernfolgen, die nicht periodisch sind, die irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind demgegenüber durch endliche oder unendliche Ziffernfolgen beschreibbar, die aber periodisch sein müssen. Damit sind reelle Zahlen immer noch Objekte der unmittelbaren Anschauung, auch wenn man sie in ihrer Vollständigkeit niemals erfassen kann. Beispiele für irrationale Zahlen sind die Zahlen Pi und die Wurzel aus 2.

Man kann reelle Zahlen durch rationale Zahlen approximieren, d.h. man kann sich ihnen beliebig genau mit einer Folge rationaler Zahlen annähern. Das ist gleichwertig damit, dass sie durch Dezimalziffernfolgen darstellbar sind. Dieser Vorgang der Annäherung scheint dynamisch zu sein, zumindest dann, wenn man versucht irrationale reelle Zahlen über diese Approximation zu berechnen. Jeder Rechenschritt benötigt Zeit. Die Berechnungsprozedur endet niemals, denn die Ziffernfolge einer irrationalen reellen Zahl enthält unendlich viele Ziffern. Dennoch kann sie eindeutig bestimmt sein, man weiß z.B. wie man die Ziffernfolge der Wurzel aus 2 berechnen kann.

In diesem Sinne kann man sich fragen, ob auch die dynamische Entwicklung des Kosmos solchen irrationalen Berechnungsprozeduren gehorcht, selbst wenn sie in der Zeit nicht beschränkt ist. Es könnten sich immer wieder neue Strukturen bilden, die sich niemals wiederholen und trotzdem ist das ganze System eindeutig bestimmt.

Darauf beruhen die Geschichten über Arianne, auch wenn sie nichts anderes sind als reine Fiktionen der Phantasie.
Link: Bild einer unendlichen Spiegelung

Diese Spiegelung ist eine Folge von Wiederholungen.
Ein Ausflug in die Physik

Unendliche Wiederholungen findet man z.B. auch bei der Darstellung einer Sinusfunktion. Eine solche Funktion hat eine bestimmte Wellenlänge und Frequenz.

Betrachtet man stattdessen Wellenfunktionen, die nur in einem endlichen Bereich von Null verschieden sind, so kann man ihnen keine feste Frequenz und Wellenlänge mehr zuordnen. Mathematisch führt dies zu Unschärfen in der Angabe von Wellenlänge und Frequenz, die man bei geeigneter Darstellung als Unschärfe von Ort und Impuls bzw. Energie und Zeit interpretieren kann.

In den Kapiteln über die Quantenmechanik habe ich einiges dazu geschrieben.

Dementsprechend scheint die Realität der Quantenphysik auf endlichen mathematischen Beschreibungen zu beruhen. Eine Unendlichkeit im Sinne der Mathematik scheint es in der Physik nicht zu geben.

Diskrete Energiezustände erhält man in gebundenen Zuständen, z.B. in einem Atom.

Demgegenüber gibt es für die kinetische Energie eines freien Teilchens keine Einschränkung, sie kann jeden beliebigen Wert annehmen.

Bisher habe ich auch noch keine Beschränkungen für die Energie der Photonen gefunden. Sie können eine beliebig große Frequenz und damit auch beliebig kleine, von Null verschiedene Wellenlängen haben.

Auf wunderbare Weise wird hier das unendlich Große mit dem unendlich Kleinen verbunden.

Ansätze für diskrete Raum-Zeit-Modelle haben sich meines Wissens bisher noch nicht durchgesetzt.

Warum sollen Raum und Zeit diskret sein?

Eine endliche Grenze gibt es ja in der zeitgenössischen Physik, die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sie ist die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit für Wechselwirkungen.
Analogieschluss zur Quantenphysik?... Aha ... das muss eine Bedeutung haben!

Glühbirne wieder aus. Kein Wunder in dieser Eurozone.

Trotzdem weitergefragt: Ob man daraus diskrete Raum-Zeit-Strukturen ableiten kann? Man geht wohl eher so vor: ich nehme an, die Raum-Zeit ist diskret und überlege mir dann, welche Konsequenzen das auf physikalisch messbare Größen hat.

Der Modelltheoretische Ansatz, den es auch in anderen Bereichen der Wissenschaften gibt.

Entgegen aller Evidenz für das Endliche gibt es die Vorstellung irrationaler Zahlen, die eine Unendlichkeit beinhalten, die nicht abbricht und die sich nicht wiederholt. Sie hat sogar geometrische Interpretationen, z.B. ist die Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat keine rationale Zahl.

Mit Unendlichkeiten in der Quantenphysik, wie sie z.B. bei der Diracschen Deltafunktion auftreten, kann ich nichts anfangen. Sie dienen meiner Meinung nach nur der Rechenvereinfachung.
Genauso geht es mir mit den Vorstellungen eines Dirac Sees mit unendlich vielen Elektronen.
In der Wikipedia fand ich folgendes: in der Nichtstandardanalysis gibt es unendliche Zahlen und zwar sowohl unendlich große Zahlen als auch unendlich kleine Zahlen.
(Artikel "Unendlichkeit",  "Nichtstandardanalysis", Februar 2010).

In dem Artikel "Nichtstandardanalysis" wird festgestellt: "Es gibt in der Nichtstandardanalysis Zahlen, die näher bei Null liegen als jede von 0 verschiedene reelle Zahl, sowie Zahlen die größer oder kleiner als jede reelle Zahl sind." 

Es klingt für mich so ähnlich wie die Vorstellung inifinitesimaler Größen dx, dy, dz ... Aber besser weiß ich es auch nicht. Unter anderem deswegen weiche ich auf Science Fiction aus.

Eine Frage hätte ich noch. Wenn man die Existenz solcher Zahlen annimmt, wo will man sie im Kontinuum unterbringen? Jedem Punkt des Kontinuums entspricht ja eine reelle Zahl. Zumindest in der Standard Analysis. Falls man die Standard Analysis um solche Zahlen erweitern sollte, geht man dann nicht über die Mächtigkeit des Kontinuums hinaus? In denke dabei an Begrifflichkeiten wie Alef-2. Alef-1 ist ja die Mächtigkeit des Kontinuums.
Unendlich große Zahlen könnte ich mir begrifflich schon vorstellen, z.B. die Ziffernfolge der Wurzel aus 2, << 14142 ... >>. Die unendlich vielen Ziffern sind eindeutig festgelegt durch die Darstellung der Wurzel aus 2 in der Form 1,4142...

Eine solche Zahl ist größer als jede reelle Zahl, da die Angabe einer reellen Zahl nur endlich viele Ziffern vor dem Komma beinhaltet.

Die Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl.

Von solchen Darstellungen gäbe es überabzählbar viele, denn die Menge der irrationalen Zahlen ist überabzählbar.

Der Kehrwert einer solchen Zahl wäre eine Darstellung der Null. Dafür  gibt es dann auch überabzählbar viele verschiedene Möglichkeiten. Solche Zahlen wären kleiner als jede reelle Zahl.
Denn die Angabe einer von Null verschiedenen reellen Zahl impliziert, dass sie einen positiven Abstand zur Null hat.

Standardanalysis

Im folgenden werden einige Details der "Standardanalysis" diskutiert.

Die irrationalen Zahlen lassen sich als nicht periodische Dezimalzahlen darstellen:

z.B. die Wurzel aus 2: imageHGE = 1,41421356...

Wikipedia, Artikel "Wurzel 2" (19.12.09)

imageHGE = 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727 ...

1,41421356... ist eine Dezimalzahl, deren Ziffernfolge 141421356... nicht vollständig angegeben werden kann, sie beinhaltet unendlich viele Ziffern. Daher die 3 Punkte "..." stellvertretend für die fehlenden Ziffern. Die Ziffern lassen sich nicht in Gruppen anordnen, die sich wiederholen. Wäre dies möglich, so hätte man eine rationale Zahl.

z.B. image9EF = 0,42857142857142857...  Die Folge der Ziffern 428571 wiederholt sich.

Bricht man die unendliche Ziffernfolge für die Wurzel aus 2 an irgendeiner Stelle ab, so erhält man eine rationale Zahl, z.B. ist 1,4142135 eine rationale Zahl.

Man kann eine irrationale Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen annähern (approximieren). Anders formuliert: in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl gibt es eine rationale Zahl.
So gibt es z.B. eine rationale Zahl, die sich von der Wurzel aus 2 um weniger als
10-10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 unterscheidet.

10-1 = 0,1
10-10 = 0,1*10-9 = 0,01*10-8 = 0,0000000001

Man kann nun die Folge der Nullen ein ganzes Jahr lang fortschreiben (täglich 8 Stunden) und hat dann immer noch recht.

In endlicher Zeit ist es nicht möglich, alle Ziffern der Wurzel aus 2 niederzuschreiben, da das Niederschreiben einer einzelnen Ziffer Zeit benötigt. Auch das Berechnen der Ziffern kostet Zeit. Dennoch existieren alle Ziffern in unserer Vorstellung der Wurzel aus 2.

Die Wurzel aus 2 hat eine geometrische Bedeutung, sie entspricht der Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat.

Problem 1: Lässt sich die n. Ziffer bestimmen, ohne dass man zuvor die Zifferen 1,2,3,..., n-1 kennt?

Für dieses Problem weiß ich keine Lösung.

Ein rekursiver Verfahren zur Berechnung der Wurzel aus 2:

imageNH0

vgl.

Das Verfahren berechnet eine Folge rationaler Zahlen, die gegen die Wurzel aus 2 konvergiert. Die Anzahl der gültigen Nachkommastellen kann man aus der Fehlerabschätzung des Verfahrens bestimmen.

Beweis der Irrationalität der Wurzel aus p , wenn p eine Primzahl ist. 

Man kann die Wurzel aus 2 durch positive rationale Zahlen beliebig genau annähern. Positive rationale Zahlen lassen sich in der Form imageQAR darstellen, mit natürlichen Zahlen p und q.
Man bezeichnet diese Darstellung auch als Bruch.

Will man sich der Wurzel aus 2 in dieser Form beliebig genau annähern, so müssen p und q beliebig groß werden.

Ein bisschen viel "beliebig" in diesem Satz.
Was ich aussagen will, wenn p und q nicht beliebig groß sind, also z.B. endliche natürliche Zahlen darstellen, so ist der Bruch imageQAR eine rationale Zahl.
Beispiel: p = 14142135, q = 10000000,imageQAR=1,414213500, |imageQAR-imageHGE|=0,62*10-7 < 10-6
Bis auf 6 Stellen nach dem Komma sind die Ziffern der Wurzel aus 2 durch die angegebene Darstellung imageQAR bestimmt.
Man könnte nun auf den Gedanken kommen, die Wurzel aus 2 in der folgenden Form darzustellen:
imageK97
Die Punkte drücken aus, dass noch weitere, in diesem Fall unendlich viele Ziffern folgen. 

Es ist 1,4142135 = 14142135/10000000, d.h. falls die Anzahl der Nullen im Nenner gleich der um 1 verminderten Anzahl der Ziffern im Zähler ist, erhält man eine Approximation der Wurzel aus 2.
Und im Fall unendlich vieler Ziffern im Zähler und Nenner?

Die Aussage, im Nenner müssen unendlich viele Nullen stehen, ist nicht eindeutig, denn unendlich viele Nullen im Nenner besagen noch nicht, dass der Bruch die Wurzel aus 2 darstellen muss.
image22K

Die "Anzahl" der durch die Rekursion berechenbaren Ziffern des Zählers ist abzählbar unendlich, denn sie werden über eine Zahlenfolge berechnet.

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