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Spekulationen zu Themen der Physik

Berechnung eines Gleichgewichtszustandes beim Gravitationskollaps über ein Extremwertproblem.
Überlegungen zum relativistischen Flug.
Planck Einheiten, Unschärferelationen in der Quantenmechanik.


Inhaltsverzeichnis


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Die Überlegungen dieser Seiten sind unter "Science Fiction" angeordnet, d.h. es handelt sich um Gedankenspielereien. Möglicherweise werden dabei nicht alle Informationen berücksichtigt, so dass manche Schlussfolgerungen falsch sein können. Ich halte es aber dennoch für wichtig, ein wenig mit meinem momentanen Erkenntnisstand zu experimentieren. Mit zunehmendem Wissen wird sich das eine oder andere bestätigen oder widerlegen lassen.

Referenztabelle


(1) Gleichgewichtszustand beim Gravitationskollaps (2) Unschärferelationen in der Quantenmechanik (3) Planck Einheiten
(4) Relativistischer Flug (5) irrationale Zahlen (6) Unendlich große natürliche Zahlen
(5) weitere Überlegungen zur Speziellen Relativitätstheorie
Zeitdilation, Längenkontraktion

(7) Potenzmenge der natürlichen Zahlen
(8) Massenträgheit bei Photonen
Spekulation am Ereignishorizont
eines Schwarzen Loiches

Gleichgewichtszustand beim Gravitationskollaps

Was könnte den Zusamenbruch eines Sternes zu einem Schwarzen Loch verhindern?
Für eine kugelförmige Masse kann man die Gravitationsenergie in Abhängigkeit vom Radius R berechnen.

Es zeigt sich dabei, dass die Gravitationsenergie linear mit mit dem Radius R abnimmt (sie wird negativ berechnet).
$E_{grav}=-\displaystyle \frac{3}{5} G \frac{M^2}{R}$

Der Betrag der potentiellen Energie wächst mit abnehmendem Radius.
"Negative Energie" wird in der Physik gelegentlich benutzt um anzudeuten, dass ein Bindungszustand vorliegt.

Demgegenüber berechnet sich die kinetische Energie eines freien Teilchens der Masse m zu E = p2/(2m).
Es gilt die Heisenbergsche Unschärferelation:  image19B

Hieraus kann man schließen:  image723


Befindet sich z.B. ein Elektron in Bereich eines Atoms der Ausdehnung 10-10 m, so kann man hieraus seine Impulsunschärfe berechnen. Hieraus ergibt sich eine Energieunschärfe, für die ich annehme, dass sie mit dem Quadrat der Ortsunschärfe anwächst. Die maximale Ortsunschärfe könnte z.B. durch die Größe eines Atoms bestimmt sein, oder durch einen Atomkern.

Man weiß z.B. durch Experimente, dass Elektronen mit einer sehr hohen kinetischen Energie aus dem sehr viel kleineren Kernvolumen (10-15 m) austreten können (radioaktive Beta-Strahlung).

Eine kollabierende Masse bestimmt die maximale Ortsunschärfe ihrer Elementarteilchen durch ihre räumliche Ausdehnung.


Hieraus resultiert die Überlegung, dass die Summe der Energieunschärfen aller Elementarteilchen (bzw. die Summe ihrer kinetischen Energien) einer kollabierenden Masse irgendwann den gravitativen Zusammenhalt übertreffen muss. Vielleicht bildet sich dann ein Gleichgewichtszustand heraus, vielleich fliegt das ganze System auch einfach nur auseinander.

Wie könnte so ein Gleichgewichtszustand aussehen?

Für die Heisenbergsche Unschärferelation wird angenähert Gleichheit angenommen, wenn man für Massen mit einem Volumen in der Größenordnung von Atomen $\Delta x$ durch R, $\Delta p$ durch p ersetzt. Eh bezeichne die daraus resultierende kinetische Energie, bezogen auf die Masse M, Egrav die Gravitationsenergie der Masse M vom Radius R.

R nimmt infolge des Gravitationskollapses ab, 
R -> 0.



Gleichgewichtszustand als Extremwertproblem


image2G6

Bemerkung: bei den vorstehenden Überlegungen hätte man mit $\displaystyle \frac{\hbar}{2}$  rechnen müssen (bei der Unschärferelation zwischen Ort und Impuls).

Ersetzt man $\hbar$   durch $\displaystyle \frac{\hbar}{2}$, so wird R kleiner, (5/3) wäre durch (5/12) zu ersetzen.

Der Schwarzschildradius einer Masse M berechnet sich zu MSR = M * 2G/c2 , M : Masse.
Wenn also die Masse M hinreichend groß ist,  verschwindet das oben berechnete R innerhalb des Schwarzschildradius. Dennoch gibt es keine punktförmige Singularität.


Unschärferelationen in der Quantenmechanik

Unschärferelation zwischen Ort und Impuls

$\displaystyle \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

als Formelbild

Unschärferelation zwischen Energie und Zeit

$\displaystyle \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$

als Formelbild

Wendet man diese Relation auf ein einzelnes Energiequant E an, so ergibt sich folgendes:


Es ist Impuls_PhotonOmega_DefWellenzahl 

Sei  $\Delta E = E$  die Energieunschärfe eines einzelnen Quants zwischen 0 und Maximalwert
und $\Delta p = p$  die Impulsunschärfe eines einzelnen Energiequants zwischen 0 und p
und $\Delta x = x$ die Ortsunschärfe eines einzelnen Energiequants
und $\Delta t = t$ die Unschärfe in der Zeit bei Messung eines einzelnen Energiequants

dann folgt: $\displaystyle p \cdot x \ge \frac{\hbar}{2}$,
hieraus erhält man $\displaystyle \hbar \cdot k \cdot x \ge \frac{\hbar}{2}$ =>

$\displaystyle kx \ge \frac{1}{2}; x \ge \frac{1}{2k}; x \ge \frac{\lambda}{4 \pi}$

Frage zur Minimalgröße eines Energiequants der Wellenlänge $\lambda$

Kann man hieraus für ein einzelnes Energiequant folgern, dass es diese Ortsunschärfe erfüllen muss? 

Rotes Licht mit einer Wellenlänge von $700nm$ hätte dann eine Minimalausdehnung von 

$\displaystyle \frac{700}{4 \pi}\cdot 10^{-9}m \approx 5,5 \cdot 10^{-8}m$

Energie kann nach diesen Überlegungen nicht punktförmig konzentriert sein, da diese Ortsunschärfe gewährleistet sein muss.

Die Ortsunschärfe wird kleiner, wenn die Energie größer wird (dann wird auch die Wellenlänge kleiner).

Unschärfe in der Zeit

Entsprechende Überlegungen führen zu einer Ortsunschärfe in der Zeit:

$\displaystyle E  t \ge \frac{\hbar}{2}, \hbar \cdot \omega \cdot t \ge \frac{\hbar}{2}$ 
    
$\displaystyle t \ge \frac{1}{2 \omega}$

Ein Rechenbeispiel

Die Beziehung $\displaystyle E=\frac{hc}{\lambda}$ wird auf dieser Seite erklärt.

$c \approx 3 \cdot 10^{8} m, \lambda \approx 7 \cdot 10^{-7} m$,  $\displaystyle  \omega=\frac{E}{\hbar}$

$\displaystyle \hbar=\frac{h}{2 \pi}, E=\hbar \omega$

Es folgt: $\displaystyle \omega=\frac{E}{\hbar}=\frac{hc}{\hbar \lambda}=2 \pi \frac{c}{\lambda}$

Die Rechnung ergibt $\omega \approx 2,69 \cdot 10^{15} \frac{1}{s}$

Für die Unschärfe in der Zeit gilt dann approximativ $t \ge 0,37 \cdot 10^{-15} s$

Setzt man für x und t Gleichheit an, so folgt:  $\displaystyle \frac{x}{t}=\frac{\lambda}{4 \pi} \cdot 2 \omega = \frac{\lambda}{T}=c$.

(c ist die Konstante für die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit)

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